设 $a>0$，函数 $f(x)=x^3-ax$ 在 $[1,+\infty)$ 上是单调函数．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
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求 $a$ 的取值范围；标注答案$(0,3]$解析由条件，得 $f'(x)=3x^2-a$，当 $a>0$ 时，由 $f'(x)=0$，得 $=\pm \sqrt{\dfrac a3}$，要使 $f(x)=x^3-ax$ 在 $[1,+\infty)$ 上是单调函数，只需 $\sqrt{\dfrac a3}\leqslant 1$，即 $a\leqslant 3$．故 $a$ 的取值范围为 $(0,3]$．
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若 $x_0\geqslant 1$，并满足 $f(x_0)\geqslant 1$，$f(f(x_0))=x_0$．求证：$f(x_0)=x_0$．标注答案略解析由条件可知，$x_0\geqslant 1$，$f(x_0)\geqslant 1$，$f(x)=x^3-ax$ 在 $[1,+\infty)$ 上是单调递增函数．
若 $f(x_0)=x_0$，则 $f(f(x_0))=f(x_0)=x_0$，满足条件 $f(f(x_0))=x_0$；
若 $f(x_0)>x_0$，则 $f(f(x_0))>f(x_0)>x_0$，与条件 $f(f(x_0))=x_0$ 矛盾；
若 $f(x_0)<x_0$，则 $f(f(x_0))<f(x_0)<x_0$，亦与条件 $f(f(x_0))=x_0$ 矛盾．
故 $f(x_0)=x_0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
