略

由于 $2011$ 为质数，$1\leqslant a<2011$，所以$$(a,2011)=1,$$据裴蜀定理，存在正整数 $m,n$，使$$am-2011n=1,$$于是当 $a$ 为奇数时，$m,n$ 一奇一偶．
如果 $m$ 为偶数，$n$ 为奇数，则将上式改写成：$$a\cdot(m+2011)-2011\cdot (n+a)=1.$$令$$m'=m+2011,n'=n+a,$$上式成为$$am'-2011n'=1,$$其中 $m'$ 为奇数，$n'$ 为偶数．
也就是说，总存在奇数 $m$ 和偶数 $n$，使$$am=2011n+1$$成立．
进行这样的操作：
选取一个点 $A$，自 $A$ 开始，按顺时针方向操作 $a$ 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 $a$ 个顶点，$\cdots\cdots$
当这样的操作进行 $m$ 次后，据 ① 知，点 $A$ 的颜色被改变了奇数次，即 $n+1$ 次，从而改变了颜色，而其余所有顶点的颜色都改变了偶数次，即 $n$ 次，其颜色不变．称这样的 $m$ 次操作为“一轮操作”．
由于每轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色．
同理，也可以经过有限多轮操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．

可以

当 $a$ 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：
如果给定的正多边形开初有奇数个黑点，偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点，偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑．
为证明此结论，采用赋值法：
将白点改记为“$+1$”，而黑点记为“$-1$”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以 $-1$，所以改变 $a$ 个点的颜色，即相当于乘了 $a$ 个（偶数个）$-1$．
由于 $(-1)^a=1$，因此当多边形所有顶点赋值之积为 $-1$，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 $-1$，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．
但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 $a$，$$am=2011n+1$$中的 $n$ 为奇数．
设 $A,B$ 是多边形的两个相邻顶点，自点 $A$ 开始，按顺时针方向操作 $a$ 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 $a$ 个顶点，$\cdots\cdots$
当这样的操作进行 $m$ 次后，点 $A$ 的颜色被改变了偶数次（$n+1$ 次），从而颜色不变；其余所有 $2010$ 个顶点都改变了奇数次（$n$ 次）状态，即都改变了颜色．
自点 $B$ 开始，按同样的方法操作 $m$ 次后，点 $B$ 的颜色不变，其余所有 $2010$ 个顶点都改变了颜色．
因此，经过上述 $2m$ 次操作后，多边形恰有 $A,B$ 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有 $2009$ 个点的颜色不变．
现将这样的 $2m$ 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换．因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点．
于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．
同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点，偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑（只需将黑点赋值为“$+1$”，白点赋值为“$-1$”，证法便完全相同）