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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
22978 59113bc8e020e7000878f587 高中 解答题 高中习题 证明：${\sqrt 7}^{\sqrt 8}>{\sqrt 8}^{\sqrt 7}$．（参考数据：$2.64<\sqrt 7<2.65$，$2.82<\sqrt 8<2.83$，$2.71<{\rm e}<2.72$．） 2022-04-17 20:20:23
22977 59113c2ae020e7000a79882d 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=-\dfrac{\ln x}x+{\rm e}^{ax-1}$ 的最小值为 $a$，求 $a$ 的最小值． 2022-04-17 20:19:23
22976 59113ca9e020e7000a798832 高中 解答题 高中习题 证明：当 $x>0$ 时，${\rm e}^x+(1-{\rm e})x-x\ln x-1\geqslant 0$． 2022-04-17 20:19:23
22975 59113ce1e020e700094b0924 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac a{x+1}$，若 $f(x)$ 为单调递增函数，试讨论关于 $x$ 的方程 $f(x)=x^2-2x+3$ 的解的个数． 2022-04-17 20:18:23
22974 59113d11e020e7000878f590 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x^2\ln x+a(x^2-x)$（$a>0$），方程 $f(x)=m$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>1$． 2022-04-17 20:17:23
22973 59113d58e020e7000878f593 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 为偶数，且 $n\geqslant 6$．记 $S_n$ 为单位圆的内接正 $n$ 边形的面积． 2022-04-17 20:17:23
22972 59113d7de020e700094b0928 高中 解答题 高中习题 若函数 $f(x)=x\ln x-ax^2-x+1$ 存在最大值，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:17:23
22971 59113da0e020e7000878f597 高中 解答题 高中习题 若不等式 $\left(\dfrac{1}{x-1}+a\right)\cdot \ln x > 1$ 对一切 $x>0$ 且 $x\neq 1$ 均成立，求实数 $a$ 的值． 2022-04-17 20:16:23
22970 59113dd2e020e7000878f59a 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)}{{\rm e}^x-1}+ax$．若对任意 $x>-1$ 且 $x\neq 0$，均有 $f(x)>1$ 恒成立，求实数 $a$ 的值． 2022-04-17 20:16:23
22969 59113e74e020e7000a798838 高中 解答题 高中习题 已知 $b>a>0$，且 $b\ln a-a\ln b=a-b$，求证： 2022-04-17 20:15:23
22968 59113ec9e020e7000a79883c 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b>0$ 且 $ab=1$，求证：$2^{a+b}\geqslant 2^a+2^b$． 2022-04-17 20:15:23
22967 5909af8738b6b400091f005d 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），圆 $O$ 以椭圆 $E$ 的短轴为直径．设 $AB$ 是椭圆 $E$ 的弦且与圆 $O$ 相切，椭圆的一个焦点 $F$ 与弦 $AB$ 在 $y$ 轴同侧，求证：$\triangle FAB$ 的周长为定值 $2a$． 2022-04-17 20:14:23
22966 59113f4ce020e70007fbea3d 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$．$P$ 是椭圆上一点，直线 $F_2M$ 垂直于 $OP$ 且交线段 $F_1P$ 于点 $M$，若 $F_1M=2MP$，求椭圆 $E$ 的离心率 $e$ 的取值范围． 2022-04-17 20:14:23
22965 5911599ce020e7000878f5a2 高中 解答题 高中习题 已知过点 $P\left(1,\dfrac 14\right)$ 的直线 $l_1,l_2$ 分别与椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 相交于点 $A,C$ 与 $B,D$，且 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PD}$，求直线 $AB$ 的方程． 2022-04-17 20:13:23
22964 591159e6e020e700094b0941 高中 解答题 高中习题 设 $F_1,F_2$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦点，椭圆的弦 $AB$ 过焦点 $F_1$，求 $\triangle ABF_2$ 面积的最大值． 2022-04-17 20:13:23
22963 59115a1be020e70007fbea42 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $C:y^2=4x$ 和直线 $l:x-y+4=0$，$P$ 是直线 $l$ 上一点，过 $P$ 作抛物线的两条切线，切点分别为 $A,B$．若 $PA,PB$ 分别交 $y$ 轴于 $M,N$，求 $\triangle PMN$ 外接圆半径的最小值． 2022-04-17 20:12:23
22962 59115c29e020e7000878f5ac 高中 解答题 高中习题 已知 $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，$m,n$ 均为整数，且 $1\leqslant m \leqslant 2012$．求满足$$5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$$的有序整数对 $(m,n)$ 共有多少对？ 2022-04-17 20:12:23
22961 59115ce2e020e7000878f5b4 高中 解答题 高中习题 如图，由若干个小正方形组成的 $k$ 层三角形图阵，第一层有 $1$ 个小正方形，第二层有 $2$ 个小正方形，依此类推，第 $k$ 层有 $k$ 个小正方形．除去最底下一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第 $k$ 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为 $x_1,x_2,\cdots ,x_k$，其中 $x_i\in\{0,1\}$（$1\leqslant i\leqslant k$），其它小正方形标注的数字是它下面的两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为 $x_0$． 2022-04-17 20:12:23
22960 59115d35e020e700094b094e 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 中的元素都是正整数，且 $a_1<a_2<\cdots<a_n$，集合 $A$ 具有性质 $M$：对任意的 $x,y\in A$，且 $x\neq y$，有 $|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$． 2022-04-17 20:12:23
22959 59115d88e020e700094b0951 高中 解答题 高中习题 定义 $\overline{abc}$ 是一个三位数，其中各数位上的数字 $a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ 且不全相同．定义如下运算 $f$：把 $\overline{abc}$ 的三个数字 $a,b,c$ 自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补 $0$），然后用“较大数”减去“较小数”．例如：$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$．如下定义一个三位数序列：第一次实施运算 $f$ 的结果记为 $\overline{a_1b_1c_1}$，对于 $n>1$ 且 $n\in \mathbb{N}$，$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$．将 $\overline{a_nb_nc_n}$ 的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为 $d_n$． 2022-04-17 20:11:23
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