题目 已知 $b>a>0$，且 $b\ln a-a\ln b=a-b$，求证： 问题1 $a+b-ab>1$； 答案1 略 解析1 已知条件可以变形为$$\dfrac{\ln a+1}{a}=\dfrac{\ln b+1}{b},$$因此 $a,b$ 是函数 $f(x)=\dfrac{\ln x+1}{x}$ 的图象与直线 $y=m$ 的两个公共点的横坐标．<br/>考虑函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2},$$于是函数 $f(x)$ 有极大值点 $x=1$，因此有 $0<a<1<b$，从而$$(a-1)(b-1)<0,$$即$$a+b-ab>1,$$命题 $(1)$ 得证． 备注1 问题2 $a+b>2$； 答案2 略 解析2 设 $b=at$，$t>1$，则有$$\dfrac{\ln a+1}a=\dfrac{\ln a+\ln t+1}{at},$$解得$$\ln a=\dfrac{\ln t}{t-1}-1,$$从而$$\ln b=\ln a + \ln t=\dfrac{t\ln t}{t-1}-1,$$考虑到 $t>1$ 时，有$$\ln t>2\cdot\dfrac{t-1}{t+1},$$于是$$ a+b>{\rm e}^{\frac {2}{t+1}-1}+{\rm e}^{\frac{2t}{t+1}-1}={\rm e}^{\frac{1-t}{t+1}}+{\rm e}^{\frac{t-1}{t+1}}>2,$$于是 $a+b>2$，命题 $(2)$ 得证． 备注2 问题3 $\dfrac 1a+\dfrac 1b>2$． 答案3 略 解析3 对于命题 $(3)$，将已知条件变形为$$\dfrac 1a\left(-\ln\dfrac 1a+1\right)=\dfrac 1b\left(-\ln\dfrac 1b+1\right),$$于是 $\dfrac 1a$ 和 $\dfrac 1b$ 是函数 $g(x)=x-x\ln x$ 的图象与直线 $y=n$ 的两个公共点的横坐标．<br/>考虑函数 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=-\ln x,$$于是函数 $g(x)$ 有极大值点 $x=1$，于是$$0<\dfrac 1b<1<\dfrac 1a.$$对称化构造函数$$h(x)=g(2-x)-g(x),$$其中 $0<x<1$，则其导函数$$h'(x)=\ln (2-x)+\ln x=\ln\big(x(2-x)\big)<0,$$于是 $h(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，因此 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上有$$h(x)>h(1)=0,$$也即当 $0<x<1$ 时，$g(2-x)>g(x)$．<br/>这样就有$$g\left(\dfrac 1a\right)=g\left(\dfrac 1b\right)<g\left(2-\dfrac 1b\right),$$而 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，于是$$\dfrac 1a>2-\dfrac 1b,$$即$$\dfrac 1a+\dfrac 1b>2,$$命题 $(3)$ 得证． 备注3 第 $(2)$ 小题也可以用与第 $(3)$ 小题类似的对称化构造的方法去证明．<br/>每日一题[493]极值点偏移．