已知 $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)}{{\rm e}^x-1}+ax$．若对任意 $x>-1$ 且 $x\neq 0$，均有 $f(x)>1$ 恒成立，求实数 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
当 $x>0$ 时，${\rm e}^x-1>0$，不等式等价于$$\ln(x+1)+(ax-1)({\rm e}^x-1)>0;$$当 $x<0$ 时，不等式等价于$$\ln(x+1)+(ax-1)({\rm e}^x-1)<0.$$令$$g(x)=\ln(x+1)+(ax-1)({\rm e}^x-1),$$则有 $g(0)=0$，只需要证明 $x<0$ 时，$g(x)<0$；$x>0$ 时，$g(x)>0$ 即可．
对 $g(x)$ 求导得$$\begin{split} g'(x)=&\dfrac 1{x+1}+a({\rm e}^x-1)+(ax-1)\cdot {\rm e}^x\\=&(x+1)\left(\dfrac 1{x+1}-a\right)\cdot\left(\dfrac 1{x+1}-{\rm e}^x\right).\end{split} $$因为 $g'(0)=0$，对 $g'(x)$ 求导得$$g''(x)=-\dfrac 1{(x+1)^2}+(ax+2a-1){\rm e}^x,$$从而有 $g''(0)=2(a-1)$，按 $a$ 与 $1$ 的大小讨论：
当 $a=1$ 时，$$g'(x)=-x\left(\dfrac 1{x+1}-{\rm e}^x\right),$$容易得到当 $x>0$ 时，$\dfrac 1{x+1}<{\rm e}^x$；当 $x<0$ 时，$\dfrac 1{x+1}>{\rm e}^x$．所以此时有 $g'(x)\geqslant 0$ 恒成立，从而 $g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，满足题意；
当 $a<1$ 时，在区间 $\left(0,\dfrac 1a-1\right)$ 上，有 $g'(x)<0$，从而此时 $g(x)<0$，不满足题意；
当 $a>1$ 时，在区间 $\left(\dfrac 1a-1,0\right)$ 上，有 $g'(x)<0$，从而此时 $g(x)>0$，不满足意题意．
综上知 $a=1$．
对 $g(x)$ 求导得$$\begin{split} g'(x)=&\dfrac 1{x+1}+a({\rm e}^x-1)+(ax-1)\cdot {\rm e}^x\\=&(x+1)\left(\dfrac 1{x+1}-a\right)\cdot\left(\dfrac 1{x+1}-{\rm e}^x\right).\end{split} $$因为 $g'(0)=0$，对 $g'(x)$ 求导得$$g''(x)=-\dfrac 1{(x+1)^2}+(ax+2a-1){\rm e}^x,$$从而有 $g''(0)=2(a-1)$，按 $a$ 与 $1$ 的大小讨论：
当 $a=1$ 时，$$g'(x)=-x\left(\dfrac 1{x+1}-{\rm e}^x\right),$$容易得到当 $x>0$ 时，$\dfrac 1{x+1}<{\rm e}^x$；当 $x<0$ 时，$\dfrac 1{x+1}>{\rm e}^x$．所以此时有 $g'(x)\geqslant 0$ 恒成立，从而 $g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，满足题意；
当 $a<1$ 时，在区间 $\left(0,\dfrac 1a-1\right)$ 上，有 $g'(x)<0$，从而此时 $g(x)<0$，不满足题意；
当 $a>1$ 时，在区间 $\left(\dfrac 1a-1,0\right)$ 上，有 $g'(x)<0$，从而此时 $g(x)>0$，不满足意题意．
综上知 $a=1$．
答案
解析
备注
