如图，由若干个小正方形组成的 $k$ 层三角形图阵，第一层有 $1$ 个小正方形，第二层有 $2$ 个小正方形，依此类推，第 $k$ 层有 $k$ 个小正方形．除去最底下一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第 $k$ 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为 $x_1,x_2,\cdots ,x_k$，其中 $x_i\in\{0,1\}$（$1\leqslant i\leqslant k$），其它小正方形标注的数字是它下面的两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为 $x_0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $k=4$ 时，若要求 $x_0$ 为 $2$ 的倍数，则有多少种不同的标注方法？标注答案$8$解析类似于杨辉三角，我们容易知道$$x_0={\rm C}_{k-1}^{0}x_1+{\rm C}_{k-1}^{1}x_2+{\rm C}_{k-1}^{2}x_3+\cdots +{\rm C}_{k-1}^{k-1}x_k.$$如图为 $k=4$ 时每个方格中的数加的次数．
这样，我们就可以得到不同的标注方法数为$${\rm C}_4^0+{\rm C}_4^2+{\rm C}_4^4=8.$$ -
当 $k=11$ 时，若要求 $x_0$ 为 $3$ 的倍数，则有多少种不同的标注方法？标注答案$640$解析从第 $(1)$ 小题的解决中可以看到，第 $k$ 层各个方格中的数字本身可以替换为对应的模同余的余数．因此，当 $k=11$ 时，可以如图填数．
这样，我们就可以得到不同的标注方法数为$$\left({\rm C}_4^0+{\rm C}_4^3\right)\cdot 2^7=640.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
