已知 $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，$m,n$ 均为整数，且 $1\leqslant m \leqslant 2012$．求满足$$5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$$的有序整数对 $(m,n)$ 共有多少对？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$279$
【解析】
易知 $5^n$ 与 $5^{n+1}$ 之间只能有 $2$ 个或 $3$ 个 $2^m$ 形式的数．因为 $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，所以当 $1\leqslant m \leqslant 2012$ 时，只需考虑以下 $867$ 个区间：$$(5^0,5^1),(5^1,5^2),\cdots,(5^{866},5^{867}),$$设这些区间中有 $2$ 个 $2^m$ 形式的数的区间个数为 $x$，有 $3$ 个 $2^m$ 形式的数的区间个数为 $y$，则$$\begin{cases}x+y=867,\\2x+3y=2013.\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=588,\\y=279.\end{cases}$$所以满足 $5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$ 的有序整数对 $(m,n)$ 共有 $279$ 对．
答案
解析
备注
