已知抛物线 $C:y^2=4x$ 和直线 $l:x-y+4=0$，$P$ 是直线 $l$ 上一点，过 $P$ 作抛物线的两条切线，切点分别为 $A,B$．若 $PA,PB$ 分别交 $y$ 轴于 $M,N$，求 $\triangle PMN$ 外接圆半径的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{5\sqrt 2}4$
【解析】
注意到 $\triangle PMN$ 的三边均为抛物线的切线，而抛物线的切线三角形有一个优美性质：抛物线的切线三角形的外接圆过焦点．因此可以从这点入手，结合图形的特殊性解题．
设 $A(4a^2,4a)$，则$$PA:4ay=2(x+4a^2),$$因此 $M$ 点的坐标为 $(0,2a)$，从而直线 $PA$ 与 $FM$ 的斜率之积为$$\dfrac{2}{4a}\cdot \dfrac{2a-0}{0-1}=-1,$$因此 $PA\perp FM$．类似的，有 $PB\perp FN$．因此 $P,M,F,N$ 四点共圆，且直径为 $PF$．
易知，当 $PF\perp l$ 时，所求外接圆的半径最小，为$$\dfrac 12PF=\dfrac{5}{2\sqrt 2}=\dfrac{5\sqrt 2}4.$$
设 $A(4a^2,4a)$，则$$PA:4ay=2(x+4a^2),$$因此 $M$ 点的坐标为 $(0,2a)$，从而直线 $PA$ 与 $FM$ 的斜率之积为$$\dfrac{2}{4a}\cdot \dfrac{2a-0}{0-1}=-1,$$因此 $PA\perp FM$．类似的，有 $PB\perp FN$．因此 $P,M,F,N$ 四点共圆，且直径为 $PF$．易知，当 $PF\perp l$ 时，所求外接圆的半径最小，为$$\dfrac 12PF=\dfrac{5}{2\sqrt 2}=\dfrac{5\sqrt 2}4.$$
答案
解析
备注
