设 $n$ 为偶数，且 $n\geqslant 6$．记 $S_n$ 为单位圆的内接正 $n$ 边形的面积．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
证明：$\dfrac 43S_{2n}-\dfrac 13S_n<\pi<\dfrac 83S_{2n}-2S_n+\dfrac 13S_{\frac n2}$；标注答案略解析容易计算得 $S_n=\dfrac n2\sin\dfrac{2\pi}n$，于是欲证明不等式即$$\dfrac 43n\sin\dfrac{\pi}n-\dfrac 16n\sin\dfrac{2{\pi}}{n}<\pi<\dfrac 83n\sin\dfrac{\pi}n-n\sin\dfrac{2\pi}n+\dfrac 1{12}n\sin\dfrac{4\pi}n,$$也即$$\dfrac 43\sin\dfrac{\pi}n-\dfrac 16\sin\dfrac{2\pi}n<\dfrac{\pi}n<\dfrac 83\sin\dfrac{\pi}n-\sin\dfrac{2\pi}n+\dfrac{1}{12}\sin\dfrac{4\pi}n.$$记 $x=\dfrac{\pi}n$，只需要证明当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$ 时，有$$\dfrac 43\sin x-\dfrac 16\sin 2x<x<\dfrac 83\sin x-\sin 2x+\dfrac{1}{12}\sin 4x.$$左侧不等式即$$3x-4\sin x+\dfrac 12\sin{2x}>0,$$要此不等式成立只需要$$3+(2\cos^2x-1)-4\cos x\geqslant 0,$$也即 $2(\cos x-1)^2\geqslant 0$，当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$ 时，显然成立；
接下来证明右侧不等式．右侧不等式即$$8\sin x-3\sin{2x}+\dfrac 14\sin{4x}>3x,$$记函数$$f(x)=8\cos x-6\cos 2x+\cos 4x,x\in\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right),$$则其导函数$$f'(x)=8\sin x(1-\cos x)(4\cos^2x+4\cos x-1),$$于是 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$ 上单调递增，有$$f(x)>f(0)=3,$$于是右侧不等式成立．
综上，原命题得证． -
已知 $1.732<\sqrt 3<1.733$，$3.105<S_{24}<3.106$，证明：$3.14<\pi<3.15$．标注答案略解析在第 $(1)$ 小题中，取 $n=12$ 即得．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
