已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），圆 $O$ 以椭圆 $E$ 的短轴为直径．设 $AB$ 是椭圆 $E$ 的弦且与圆 $O$ 相切，椭圆的一个焦点 $F$ 与弦 $AB$ 在 $y$ 轴同侧，求证：$\triangle FAB$ 的周长为定值 $2a$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $2a$
【解析】
设切点为 $M$，我们可以证明一个更强的结论：$$FA+AM=FB+BM=a.$$
连接 $OA,OB,OM$．设 $A(x_1,y_1)$，则\[\begin{split} FA+AM&=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{OA^2-OM^2} \\ &=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{x_1^2+y_1^2-b^2} \\ &=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{x_1^2+b^2\left(1-\dfrac{x_1^2}{a^2}\right)-b^2} \\ &=a,\end{split}\]类似地，有$$FB+BM=a,$$因此原命题得证．
连接 $OA,OB,OM$．设 $A(x_1,y_1)$，则\[\begin{split} FA+AM&=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{OA^2-OM^2} \\ &=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{x_1^2+y_1^2-b^2} \\ &=a-\dfrac ca\cdot x_1+\sqrt{x_1^2+b^2\left(1-\dfrac{x_1^2}{a^2}\right)-b^2} \\ &=a,\end{split}\]类似地，有$$FB+BM=a,$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
