已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$．$P$ 是椭圆上一点，直线 $F_2M$ 垂直于 $OP$ 且交线段 $F_1P$ 于点 $M$，若 $F_1M=2MP$，求椭圆 $E$ 的离心率 $e$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,1\right)$
【解析】
设 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，$P(x,y)$，则 $M\left(\dfrac 23x-\dfrac 13c,\dfrac 23y\right)$．由 $MF_2\perp OP$ 可得$$\dfrac yx\cdot \dfrac{\dfrac 23y}{\dfrac 23x-\dfrac 43c}=-1,$$整理得$$x^2+y^2-2cx=0,$$将 $y^2=b^2\cdot\left(1-\dfrac {x^2}{a^2}\right)$ 代入，可得$$\dfrac{c^2}{a^2}x^2-2cx+b^2=0.$$该方程在 $[-a,a]$ 上有根，又该方程的两根不等，且同正，两根之和大于 $2a$，故它在 $[-a,a]$ 上有且只有一根，因此$$\dfrac{c^2}{a^2}\cdot a^2-2ca+b^2\leqslant 0,$$解得 $e\geqslant \dfrac 12$，从而 $e$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,1\right)$．
答案
解析
备注
