已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac a{x+1}$，若 $f(x)$ 为单调递增函数，试讨论关于 $x$ 的方程 $f(x)=x^2-2x+3$ 的解的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a=4$ 时，有 $1$ 个解；当 $a<4$ 时，有 $0$ 个解
【解析】
$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x^2+(2-a)x+1}{x(x+1)^2},$$于是 $f(x)$ 为单调递增函数即$$\forall x>0,x^2+(2-a)x+1\geqslant 0,$$分离变量可得 $a\leqslant 4$．
注意到当 $a=4$ 时，$x=1$ 是方程的解，而此时 $y=x^2-2x+3$ 取最小值，于是尝试证明 $LHS\leqslant RHS$．
根据已知，有$$\ln x+\dfrac a{x+1}\leqslant x-1+\dfrac 4{x+1}=\dfrac{x^2+3}{x+1},$$而$$x^2-2x+3-\dfrac{x^2+3}{x+1}=\dfrac{x(x-1)^2}{x+1}\geqslant 0,$$因此$$\ln x+\dfrac{a}{x+1}\leqslant x^2-2x+3,$$等号当且仅当 $a=4$，$x=1$ 时取得．因此当 $a=4$ 时，题中方程有 $1$ 个解；当 $a<4$ 时，题中方程无解．
注意到当 $a=4$ 时，$x=1$ 是方程的解，而此时 $y=x^2-2x+3$ 取最小值，于是尝试证明 $LHS\leqslant RHS$．
根据已知，有$$\ln x+\dfrac a{x+1}\leqslant x-1+\dfrac 4{x+1}=\dfrac{x^2+3}{x+1},$$而$$x^2-2x+3-\dfrac{x^2+3}{x+1}=\dfrac{x(x-1)^2}{x+1}\geqslant 0,$$因此$$\ln x+\dfrac{a}{x+1}\leqslant x^2-2x+3,$$等号当且仅当 $a=4$，$x=1$ 时取得．因此当 $a=4$ 时，题中方程有 $1$ 个解；当 $a<4$ 时，题中方程无解．
答案
解析
备注
