定义 $\overline{abc}$ 是一个三位数，其中各数位上的数字 $a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ 且不全相同．定义如下运算 $f$：把 $\overline{abc}$ 的三个数字 $a,b,c$ 自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补 $0$），然后用“较大数”减去“较小数”．例如：$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$．如下定义一个三位数序列：第一次实施运算 $f$ 的结果记为 $\overline{a_1b_1c_1}$，对于 $n>1$ 且 $n\in \mathbb{N}$，$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$．将 $\overline{a_nb_nc_n}$ 的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为 $d_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $\overline{abc}=636$ 时，求 $\overline{a_1b_1c_1}$，$\overline{a_2b_2c_2}$ 及 $d_2$ 的值；标注答案$\overline{a_1b_1c_1}=297$，$\overline{a_2b_2c_2}=693$，$d_2=6$解析$\overline{a_1b_1c_1}=297$，$\overline{a_2b_2c_2}=693$，$d_2=6$．
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若 $d_1=6$，求证：当 $n>1$ 时，$d_n=5$；标注答案略解析易知，$f\left(\overline{a_{n}b_{n}c_{n}} \right )=99d_n$．
下面我们用数学归纳法来证明“当 $n>1$ 时，$d_n=5$”．
当 $n=2$ 时，因为 $d_1=6$，所以$$\overline{a_2b_2c_2}=f\left (\overline{a_{1}b_{1}c_{1}} \right )=594,$$故 $d_2=5$．
所以 $n=2$ 时，要证的命题成立．
假设 $n=k>1$ 时要证的命题成立，即 $d_k=5$．则 $n=k+1$ 时，$$\overline{a_{k+1}b_{k+1}c_{k+1}}=f\left (\overline{a_{k}b_{k}c_{k}} \right)=99d_k=495,$$所以 $d_{k+1}=5$．
故 $n=k+1$ 时，要证的命题也成立．
综上所述，命题“当 $n>1$ 时，$d_n=5$”成立． -
求证：对任意三位数 $\overline{abc}$，$n\geqslant 6$ 时，$\overline{a_nb_nc_n}=495$．标注答案略解析易知，$d\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$．因为$$\overline{a_{1}b_{1}c_{1}}=f\left (\overline{abc} \right )=99d=\overline{d00}-\overline{00d},$$所以 $a_1=d-1,b_1=9,c_1=10-d$，故$$d_1=\begin{cases}10-d,&d \leqslant 5,\\d-1,&d>5,\end{cases}$$因此 $d_1 \in \{5,6,7,8,9\}$．
若 $d_1=5$，则 $\overline{a_2b_2c_2}=\overline{a_3b_3c_3}=\cdots=495$；
若 $d_1=6$，则 $d_2=5$，故 $\overline{a_3b_3c_3}=\overline{a_4b_4c_4}=\cdots=495$；
若 $d_1=7$，则 $d_2=6,d_3=5$，故 $\overline{a_4b_4c_4}=\overline{a_5b_5c_5}=\cdots=495$；
若 $d_1=8$，则 $d_2=7,d_3=6,d_4=5$，故 $\overline{a_5b_5c_5}=\overline{a_6b_6c_6}=\cdots=495$；
若 $d_1=9$，则 $d_2=8,d_3=7,d_4=6,d_5=5$，故 $\overline{a_6b_6c_6}=\overline{a_7b_7c_7}=\cdots=495$．
综上所述，对任意三位数 $\overline{abc}$，当 $n\geqslant 6$ 时，均有 $\overline{a_nb_nc_n}=495$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
