若不等式 $\left(\dfrac{1}{x-1}+a\right)\cdot \ln x > 1$ 对一切 $x>0$ 且 $x\neq 1$ 均成立，求实数 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
首先分析端点，当 $x\to 0$ 和 $x \to +\infty$ 时，可得 $0\leqslant a\leqslant 1$．于是可得$$\dfrac{1}{x-1}+a=\dfrac{ax-a+1}{x-1} $$的分子部分恒正，接下来利用它“清君侧”即可．
易知 $0\leqslant a\leqslant 1$，于是原不等式等价于$$\varphi(x)=\ln x-\dfrac{x-1}{ax-a+1}\begin{cases} <0,0<x<1,\\ >0,x>1.\end{cases}$$注意到 $\varphi (1)=0$，而其导函数$$\varphi'(x)=\dfrac{[a^2x-(1-a)^2]\cdot (x-1)}{x(ax-a+1)^2},$$接下来根据 $a$ 与 $\dfrac 12$ 的大小关系展开讨论．
情形一 $a=\dfrac 12$．
此时在 $(0,+\infty)$ 上，$\varphi'(x)\geqslant 0$，于是 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，结合 $\varphi(1)=0$，符合题意；
情形二 $a=0$．
此时在 $(1,+\infty)$ 上，$\varphi'(x)<0$，于是在 $(1,+\infty)$ 上，$\varphi(x)<\varphi(1)=0$，不符合题意；
情形三 $0<a<\dfrac 12$．
此时在 $\left(1,\left(\dfrac 1a-1\right)^2\right)$ 上，$\varphi'(x)<0$，于是在 $\left(1,\left(\dfrac 1a-1\right )^2\right)$ 上，$\varphi(x)<\varphi(1)=0$，不符合题意；
情形四 $\dfrac 12<a\leqslant 1$．
此时在 $\left(\left(\dfrac 1a-1\right)^2,1\right)$ 上，$\varphi'(x)<0$，于是在 $\left(\left(\dfrac 1a-1\right )^2,1\right)$ 上，$\varphi(x)>\varphi(1)=0$，不符合题意．
综上，实数 $a$ 的值为 $\dfrac 12$．
易知 $0\leqslant a\leqslant 1$，于是原不等式等价于$$\varphi(x)=\ln x-\dfrac{x-1}{ax-a+1}\begin{cases} <0,0<x<1,\\ >0,x>1.\end{cases}$$注意到 $\varphi (1)=0$，而其导函数$$\varphi'(x)=\dfrac{[a^2x-(1-a)^2]\cdot (x-1)}{x(ax-a+1)^2},$$接下来根据 $a$ 与 $\dfrac 12$ 的大小关系展开讨论．
此时在 $(0,+\infty)$ 上，$\varphi'(x)\geqslant 0$，于是 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，结合 $\varphi(1)=0$，符合题意；
此时在 $(1,+\infty)$ 上，$\varphi'(x)<0$，于是在 $(1,+\infty)$ 上，$\varphi(x)<\varphi(1)=0$，不符合题意；
此时在 $\left(1,\left(\dfrac 1a-1\right)^2\right)$ 上，$\varphi'(x)<0$，于是在 $\left(1,\left(\dfrac 1a-1\right )^2\right)$ 上，$\varphi(x)<\varphi(1)=0$，不符合题意；
此时在 $\left(\left(\dfrac 1a-1\right)^2,1\right)$ 上，$\varphi'(x)<0$，于是在 $\left(\left(\dfrac 1a-1\right )^2,1\right)$ 上，$\varphi(x)>\varphi(1)=0$，不符合题意．
综上，实数 $a$ 的值为 $\dfrac 12$．
答案
解析
备注
