已知集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 中的元素都是正整数，且 $a_1<a_2<\cdots<a_n$，集合 $A$ 具有性质 $M$：对任意的 $x,y\in A$，且 $x\neq y$，有 $|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
判断集合 $\{1,2,3,4\}$ 是否具有性质 $M$；标注答案具有性质 $M$解析$|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$，即$$\left|\dfrac 1x-\dfrac 1y\right|\geqslant \dfrac{1}{25},$$也就是集合$$A'=\left\{\dfrac 1{a_1},\dfrac 1{a_2},\cdots ,\dfrac{1}{a_n}\right\}$$中的任何两个元素之间的距离都不小于 $\dfrac{1}{25}$．由于 $A'$ 中的元素都在区间 $(0,1]$ 内，因此元素个数是有限的．在构造最多元素的集合 $A'$ 时，我们倾向于从 $a_1$ 开始，每次取尽量小的 $a_i$，这样可以更有效的利用为数不多的区间长度．
由于 $\left\{1,\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 14\right\}$ 中两个元素之间的最小距离为$$\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac{1}{12}\geqslant \dfrac{1}{25},$$于是集合 $\{1,2,3,4\}$ 具有性质 $M$； -
求证：$\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_n}\geqslant \dfrac{n-1}{25}$；标注答案略解析根据性质 $M$ 的描述，有$$ \dfrac 1{a_1}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac 1{a_1}-\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_n}\geqslant \dfrac{n-1}{25}.$$
-
求证：$n\leqslant 9$．标注答案略解析对任意正整数 $p,q$ 且 $1\leqslant p<q\leqslant n$，均有$$\dfrac{q-p}{25}\leqslant \dfrac{1}{a_p}-\dfrac{1}{a_q}<\dfrac{1}{p},$$于是$$q< \dfrac{25}{p}+p.$$若 $p$ 无法取得 $5$，则 $n\leqslant 5$，命题显然成立；若 $p$ 可以取得 $5$，那么令 $p=5$，有 $q \leqslant 9$．取 $q=n$，可知 $n\leqslant 9$．
事实上，$n$ 的最大值为 $9$，下面就是 $n=9$ 的一个例子：$$\{1,2,3,4,5,7,10,17,54\}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
