证明：${\sqrt 7}^{\sqrt 8}>{\sqrt 8}^{\sqrt 7}$．（参考数据：$2.64<\sqrt 7<2.65$，$2.82<\sqrt 8<2.83$，$2.71<{\rm e}<2.72$．）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们熟知由于函数 $y=\dfrac{\ln x}x$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，在 $({\rm e},+\infty)$ 上单调递减，于是当 $a,b$ 均在 ${\rm e}$ 的同一侧时，很容易比较 $a^b$ 与 $b^a$ 的大小关系．但是 $\sqrt 7 <{\rm e}<\sqrt 8$，因此我们需要构造极值点偏移不等式，将它们转化到同一侧．
先给出引理：如果 $0<x_1<{\rm e}<x_2$，且 $\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}$，那么$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>\dfrac 2{\rm e}.$$设 $\dfrac{\ln m}{m}=\dfrac{\ln\sqrt 8}{\sqrt 8}$，且 $0<m<{\rm e}$．那么根据上述引理，有$$m<\dfrac{1}{\dfrac{2}{\rm e}-\dfrac{1}{\sqrt 8}}<\sqrt 7,$$再根据函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，有$$\dfrac{\ln m}{m}<\dfrac{\ln \sqrt 7}{\sqrt 7},$$即$$\dfrac{\ln \sqrt 8}{\sqrt 8}<\dfrac{\ln \sqrt 7}{\sqrt 7},$$原不等式得证．
引理的证明中，可令$$t_1=\dfrac 1{x_1},t_2=\dfrac {1}{x_2}$$后，从而转化为证明当 $t_1\ln t_1=t_2\ln t_2$ 时，$t_1+t_2>\dfrac 2{\rm e}$．具体过程略．
先给出引理：如果 $0<x_1<{\rm e}<x_2$，且 $\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}$，那么$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>\dfrac 2{\rm e}.$$设 $\dfrac{\ln m}{m}=\dfrac{\ln\sqrt 8}{\sqrt 8}$，且 $0<m<{\rm e}$．那么根据上述引理，有$$m<\dfrac{1}{\dfrac{2}{\rm e}-\dfrac{1}{\sqrt 8}}<\sqrt 7,$$再根据函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，有$$\dfrac{\ln m}{m}<\dfrac{\ln \sqrt 7}{\sqrt 7},$$即$$\dfrac{\ln \sqrt 8}{\sqrt 8}<\dfrac{\ln \sqrt 7}{\sqrt 7},$$原不等式得证．
引理的证明中，可令$$t_1=\dfrac 1{x_1},t_2=\dfrac {1}{x_2}$$后，从而转化为证明当 $t_1\ln t_1=t_2\ln t_2$ 时，$t_1+t_2>\dfrac 2{\rm e}$．具体过程略．
答案
解析
备注
