已知 $a,b>0$ 且 $ab=1$，求证：$2^{a+b}\geqslant 2^a+2^b$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $2^x=t$（$1<t\leqslant 2$），则 $x=\dfrac{\ln t}{\ln 2}$，欲证不等式即$$\dfrac 1t+\dfrac{1}{2^{\frac{\ln 2}{\ln t}}}\leqslant 1,$$也即$$2^{\frac{\ln 2}{\ln t}}\geqslant \dfrac{t}{t-1},$$整理为$$\dfrac{\ln^22}{\ln t}-\ln t+\ln (t-1)\geqslant 0.$$设 $LHS=f(t)$，则 $f(t)$ 的导函数$$f'(t)=\dfrac{\ln^2t-(t-1)\ln^22}{t(t-1)\ln^2t},$$记分子为 $r(t)$，则$$r'(t)=\dfrac{2\ln t}t-\ln ^22,$$注意到$$r''(t)=\dfrac {2(1-\ln t)}{t^2},$$因此 $r'(t)$ 在 $(1,2]$ 上单调递增，有唯一零点，因此 $r(t)$ 先单调递减，后单调递增．又 $r(1)=r(2)=0$，因此在 $(1,2]$ 上 $r(t)\leqslant 0$，因此 $f(t)$ 在 $(1,2]$ 上单调递减，又 $f(2)=0$，因此在 $(1,2]$ 上有 $f(t)\geqslant 0$，原不等式得证．
答案
解析
备注
