题目 设函数 $f(x)=\dfrac{x^2}2-k\ln x$，$k>0$． 问题1 求 $f(x)$ 的单调区间和极值； 答案1 函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(0,\sqrt k)$，单调递增区间是 $(\sqrt k,+\infty )$，在 $x=\sqrt k$ 处取得极小值为 $f(\sqrt k)=\dfrac 12k(1-\ln k)$ 解析1 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x^2-k}{x}=\dfrac{x+\sqrt k}x\cdot (x-\sqrt k),x>0,$$因此函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(0,\sqrt k)$，单调递增区间是 $(\sqrt k,+\infty )$，在 $x=\sqrt k$ 处取得极小值为 $f(\sqrt k)=\dfrac 12k(1-\ln k)$． 备注1 问题2 证明：若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 在区间 $\left(1,\sqrt{\rm e}\right]$ 上仅有一个零点． 答案2 略 解析2 若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值满足$$f(\sqrt k)\leqslant 0,$$即$$k\geqslant {\rm e}.$$此时 $f(x)$ 在 $(1,\sqrt{\rm e}]$ 上单调递减，且 $f(1)=\dfrac 12>0$，$f\left(\sqrt{\rm e}\right)=\dfrac{{\rm e} -k}2\leqslant 0$，因此 $f(x)$ 在区间 $(1,\sqrt {\rm e}]$ 上有且仅有一个零点，原命题得证． 备注2