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已知 $\triangle ABC$ 满足 $\cos A\cos B\cos C=\dfrac 18$，判断 $\triangle ABC$ 的形状．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差化积与积化和差公式
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    判别式法
【答案】
$\triangle ABC$ 是正三角形
【解析】
根据题意，有$$\cos A\cos B\cos (A+B)+\dfrac 18=0,$$积化和差，得$$\cos^2(A+B)+\cos (A-B)\cos (A+B)+\dfrac 14=0,$$将其看作关于 $\cos (A+B)$ 的一元二次方程，那么可得$$\Delta=\cos^2(A-B)-1\geqslant 0,$$于是可得 $A=B$．类似的，可得 $B=C$．因此 $A=B=C$，$\triangle ABC$ 是正三角形．
答案 解析 备注
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