正数 $a,b, c$ 满足 $a < b + c$，求证：$\dfrac{a}{{1 + a}} < \dfrac{b}{{1 + b}} + \dfrac{c}{{1 + c}}$．
【难度】
【出处】
2013年北京大学保送生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为\[\begin{split}\dfrac{a}{{1 + a}} &= \dfrac{1}{{\dfrac{1}{a} + 1}} < \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{b + c}} + 1}} \\&= \dfrac{{b + c}}{{b + c + 1}}\\&= \dfrac{b}{{b + c + 1}} + \dfrac{c}{{b + c + 1}} \\&< \dfrac{b}{{1 + b}} + \dfrac{c}{{1 + c}}\end{split}\]所以原不等式得证．
答案
解析
备注
