设 $a,b,c$ 为三角形三边之长，$p=\dfrac{a+b+c}2$，$r$ 为内切圆半径，证明：\[\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}\geqslant\dfrac1{r^2}.\]
【难度】
【出处】
2014年华中科技大学理科实验班选拔数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，所以\[\begin{split}
\dfrac{1}{r^2}
&=\dfrac{p}{(p-a)(p-b)(p-c)}\\
&=\dfrac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{(p-a)(p-b)(p-c)}\\
&=\dfrac{1}{(p-a)(p-b)}+\dfrac{1}{(p-b)(p-c)}+\dfrac{1}{(p-c)(p-a)},
\end{split}\]故\[\begin{split}\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}&=\dfrac 12\sum_{cyc}\left[\dfrac{1}{(p-a)^2}+\dfrac{1}{(p-b)^2}\right]\\
&\geqslant \dfrac 12\sum_{cyc}\dfrac{2}{(p-a)(p-b)}\\
&=\dfrac1{r^2},\end{split}\]于是原不等式得证．
\dfrac{1}{r^2}
&=\dfrac{p}{(p-a)(p-b)(p-c)}\\
&=\dfrac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{(p-a)(p-b)(p-c)}\\
&=\dfrac{1}{(p-a)(p-b)}+\dfrac{1}{(p-b)(p-c)}+\dfrac{1}{(p-c)(p-a)},
\end{split}\]故\[\begin{split}\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}&=\dfrac 12\sum_{cyc}\left[\dfrac{1}{(p-a)^2}+\dfrac{1}{(p-b)^2}\right]\\
&\geqslant \dfrac 12\sum_{cyc}\dfrac{2}{(p-a)(p-b)}\\
&=\dfrac1{r^2},\end{split}\]于是原不等式得证．
答案
解析
备注
