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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27278 590bd9ae6cddca0008610ff7 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，求证：当 $x \leqslant n$ 时，$n - n{\left( {1 - \dfrac{x}{n}} \right)^n}{{\rm{e}}^x} \leqslant {x^2}$． 2022-04-17 21:44:02
27277 590bda916cddca000a081b2e 高中 解答题 自招竞赛 记 $n$ 个元素中取 $k$ 个元素的组合数为 $\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}$，利用数学归纳法证明：对 $n \geqslant1$，$\displaystyle \sum \limits _{k=0} ^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=2^n$． 2022-04-17 21:44:02
27276 590bdad06cddca0008611006 高中 解答题 自招竞赛 确定$$\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=3\\x^3+y^3+z^3=3\end{cases}$$的实数解． 2022-04-17 21:43:02
27275 590bdb0b6cddca00078f3aa6 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c,d$ 都是正数，证明：存在三边分别等于 $\sqrt {b^2+c^2}$，$\sqrt{a^2+c^2+d^2+2cd}$，$\sqrt{a^2+b^2+d^2+2ab}$ 的三角形，并计算该三角形的面积． 2022-04-17 21:42:02
27274 590bdb296cddca00078f3aa9 高中 解答题 自招竞赛 证明方程 $x_1^4+x_2^4+\cdots+x_{14}^4=1599$ 不存在整数解． 2022-04-17 21:42:02
27273 590bdb626cddca00078f3aac 高中 解答题 自招竞赛 已知正 $n$ 边形共有 $n$ 条对角线，它的周长等于 $p$，所有对角线长度的和等于 $q$，求 $\dfrac qp-\dfrac pq$ 的值． 2022-04-17 21:42:02
27272 590c15dfd42ca700093fc5fb 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x^3+ax+\dfrac 14$，$g(x)=-\ln x$． 2022-04-17 21:42:02
27271 590c1cadd42ca700077f64fa 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)=\ln (x+1)+a\left( x^2-x\right) $，其中 $a\in\mathbb R$． 2022-04-17 21:41:02
27270 590c22d4857b4200092b0643 高中 解答题 高中习题 在正三角形 $ABC$ 的底边 $BC$ 上取中点 $M$，在与底边 $BC$ 相邻的两条边 $BA$ 和 $CA$ 上分别取点 $P$、$Q$，若线段 $PQ$ 对 $M$ 的张角 $\angle PMQ$ 为锐角，则称点 $P$、$Q$ 亲密．若点 $P$、$Q$ 在 $BA$、$CA$ 上的位置随机均匀分布，则 $P$、$Q$ 亲密的概率称为正三角形的亲密度．试求正方形的亲密度． 2022-04-17 21:41:02
27269 5955c351d3b4f90007b6fc00 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)$ 为一元二次函数，且 $a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$ 为正项等比数列，求证：$f\left( a \right) = a$． 2022-04-17 21:40:02
27268 5955c34bd3b4f900095c6581 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)$ 为一元二次函数，且 $a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$ 为正项等比数列，求证：$f\left( a \right) = a$． 2022-04-17 21:40:02
27267 5955cb5dd3b4f9000ad5e8cf 高中 解答题 自招竞赛 设 $A,B,C$ 为边长为 $1$ 的三角形三边上各一点，求：$A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}$ 的最小值． 2022-04-17 21:39:02
27266 5910335740fdc70009113e1e 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $C:x^2+3y^2=3$，过点 $D(1,0)$ 且不过点 $E(2,1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，直线 $AE$ 与直线 $x=3$ 交于点 $M$． 2022-04-17 21:39:02
27265 5955ecfed3b4f900086c442c 高中 解答题 自招竞赛 设圆的内接五边形的内角都相等，求证：这个五边形为正五边形． 2022-04-17 21:38:02
27264 5955ecfcd3b4f900095c65a6 高中 解答题 自招竞赛 设圆的内接五边形的内角都相等，求证：这个五边形为正五边形． 2022-04-17 21:37:02
27263 5955ef8cd3b4f900095c65aa 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\forall n \in {\mathbb N^ * }$，${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}$ 都能写成 $\sqrt m + \sqrt {m - 1} $（$m \in {\mathbb N^ * }$）的形式．（例如 ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} = \sqrt 9 + \sqrt 8 $）． 2022-04-17 21:37:02
27262 590fc6f1857b420007d3e589 高中 解答题 高中习题 某一等差数列的 $a_1<0$，$a_{100}\geqslant 74$，$a_{200}<200$，且在区间 $\left(\dfrac 12,5\right)$ 中的项比 $\left[20,\dfrac{49}2\right]$ 中该数列的项少 $2$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 21:37:02
27261 59561d11d3b4f900086c4467 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $\triangle ABC$ 的顶点分别为 $A(0,a)$，$B(b,0)$，$C(c,0)$，点 $P(0,p)$ 在线段 $AO$ 上（异于端点）．设 $a,b,c,p$ 为非零常数，设直线 $BP,CP$ 分别与边 $AC,AB$ 交于点 $E,F$，求证：$\angle EOA=\angle FOA$． 2022-04-17 21:36:02
27260 591004e4857b4200092b07a8 高中 解答题 高中习题 已知函数 $y = f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称，且当 $x \leqslant 1$ 时，$f(x) = \dfrac{{7x - 7}}{{{x^2} - x + 1}}$． 2022-04-17 21:36:02
27259 592791e374a309000798cde3 高中 解答题 高中习题 设实数数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_{n+1}=a_{n+1}S_n$（$n\in \mathbb N^+$）． 2022-04-17 21:36:02
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