求证：对任意正整数 $n$ 和正实数 $c$，均存在 $x_0$，使得当 $x>x_0$ 时，有 ${\rm e}^x>cx^n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们熟知当 $x>0$ 时，有$${\rm e}^x-x-1>0.$$于是取积分（以下默认 $x>0$），有$$\int_0^x\left({\rm e}^x-x-1\right){\rm d}x>0,$$也即$${\rm e}^x-\dfrac 12x^2-x-1>0,$$进而有$$\int_0^x\left({\rm e}^x-\dfrac 12x^2-x-1\right){\rm d}x>0,$$也即$${\rm e}^x-\dfrac {1}{3!}x^3-\dfrac{1}{2!}x^2-x-1>0,$$以此类推，可得$${\rm e}^x-\dfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}-\dfrac {1}{n!}x^n-\cdots -x-1>0,$$从而$${\rm e}^x>\dfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}.$$这样可以得到对任意正整数 $n$ 和正实数 $c$，取 $x_0=(n+1)!\cdot c$，就有 $x>x_0$ 时，有$${\rm e}^x>\dfrac{1}{(n+1)!}x\cdot x^n>\dfrac{1}{(n+1)!}x_0\cdot x^n=cx^n$$成立，因此原命题得证．
答案
解析
备注
