下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是 $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$（拉马努金式子），另一个是 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1$（已知欧拉公式 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha$）．
【难度】
【出处】
2014年华中科技大学理科实验班选拔数学试题
【标注】
【答案】
$3:0$
【解析】
我们先来解决左边那个式子．
设 $a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$，显然，$a_n\geqslant 1$ 对于任意的正整数 $n$ 恒成立．
因为\begin{align*}
\lvert a_n-3 \rvert
&=\left \lvert \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-3 \right \rvert\\
&=\left \lvert \dfrac {2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-2\times 4}{\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+3}\right \rvert\\
&<\dfrac {2}{4}\left \lvert \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-4\right \rvert\\
&=\dfrac {2}{4}\left \lvert \dfrac {3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-3\times 5}{\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+4}\right \rvert\\
&<\dfrac {2 \times 3}{4\times 5}\left \lvert \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-5\right \rvert\\
&\vdots\\
&<\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\left\lvert \sqrt{1+n}-(1+n) \right\rvert\\
&<\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\times n\\
&=\dfrac{6}{n+1},\end{align*}所以数列 $\{a_n\}$ 收敛，且有 $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3$．
当然，以下做法虽不严谨，但构思精巧，可以得出结果：\begin{align*}
3
&=\sqrt{1+2\times 4}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\times 5}}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\times 6}}}\\
&=\cdots.
\end{align*}至于右边那个式子嘛，就是鼎鼎大名的欧拉公式了，$\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1=0$．
设 $a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$，显然，$a_n\geqslant 1$ 对于任意的正整数 $n$ 恒成立．
因为\begin{align*}
\lvert a_n-3 \rvert
&=\left \lvert \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-3 \right \rvert\\
&=\left \lvert \dfrac {2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-2\times 4}{\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+3}\right \rvert\\
&<\dfrac {2}{4}\left \lvert \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-4\right \rvert\\
&=\dfrac {2}{4}\left \lvert \dfrac {3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-3\times 5}{\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+4}\right \rvert\\
&<\dfrac {2 \times 3}{4\times 5}\left \lvert \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-5\right \rvert\\
&\vdots\\
&<\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\left\lvert \sqrt{1+n}-(1+n) \right\rvert\\
&<\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\times n\\
&=\dfrac{6}{n+1},\end{align*}所以数列 $\{a_n\}$ 收敛，且有 $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3$．
当然，以下做法虽不严谨，但构思精巧，可以得出结果：\begin{align*}
3
&=\sqrt{1+2\times 4}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\times 5}}\\
&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\times 6}}}\\
&=\cdots.
\end{align*}至于右边那个式子嘛，就是鼎鼎大名的欧拉公式了，$\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1=0$．
答案
解析
备注
