求证：$1+\ln x<x^3+x^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据均值不等式，有$$x^3+x^2-\ln x-1=\left(x^3+\dfrac 18+\dfrac 18\right)+\left(x^2+\dfrac 14\right)-\ln x-\dfrac 32
\geqslant \dfrac 74x-\ln x-\dfrac 32,$$记右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数$$\varphi'(x)=\dfrac 74-\dfrac 1x,$$因此 $\varphi(x)$ 的极小值，亦为最小值等于$$\varphi\left(\dfrac 47\right)=\ln\dfrac 74-\dfrac 12=\dfrac {\ln \dfrac{49}{16}-1}{2}>0,$$原不等式得证．
\geqslant \dfrac 74x-\ln x-\dfrac 32,$$记右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数$$\varphi'(x)=\dfrac 74-\dfrac 1x,$$因此 $\varphi(x)$ 的极小值，亦为最小值等于$$\varphi\left(\dfrac 47\right)=\ln\dfrac 74-\dfrac 12=\dfrac {\ln \dfrac{49}{16}-1}{2}>0,$$原不等式得证．
答案
解析
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