已知 $x>0$，求证：${\rm e}^x>x^2+\dfrac{5x}7+1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑函数 $\varphi(x)=\left(x^2+\dfrac57x+1\right){\rm e}^{-x}$，其导函数$$\varphi'(x)=-{\rm e}^{-x}\left(x-1\right)\left(x-\dfrac 27\right),$$于是 $\varphi(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 27\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 27,1\right)$ 上单调递增，在 $\left(1,+\infty\right)$ 上单调递减，因为 $\varphi(0)=1$，于是只需要 $\varphi(1)<1$，即 ${\rm e}>\dfrac {19}7$，也即 $\ln\dfrac{19}7<1$．我们熟知$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}<2\left(x+\dfrac 13x^3+\dfrac 15\cdot \dfrac{x^5}{1-x^2}\right),-1<x<1,$$令 $x=\dfrac{6}{13}$，可得$$\ln\dfrac{19}7<\dfrac{1459932}{1461005}<1,$$于是原命题得证．
答案
解析
备注
