已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，点 $(2,\sqrt 2)$ 在 $C$ 上．
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（文）
【标注】
-
求 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$解析由椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ 可得椭圆方程为$$\dfrac{x^2}{2b^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,$$再由点 $(2,\sqrt 2)$ 在椭圆 $C$ 上可解得椭圆方程为$$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1.$$
-
直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴，$l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $M$．证明：直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值．标注答案定值为 $-\dfrac 12$解析设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$$\dfrac{x_1^2}{8}+\dfrac {y_1^2}{4}=1, \dfrac {x_2^2}{8}+\dfrac{y_2^2}{4}=1,$$两式相减得$$\dfrac{x_1^2-x_2^2}{8}+\dfrac{y_1^2-y_2^2}{4}=0,$$整理得$$\dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2}\cdot\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\dfrac 12,$$即直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值 $-\dfrac 12$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
