试证：除 $0,0,0$ 外，没有其他整数 $m,n,p$ 使得\[m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.\]
【难度】
【出处】
2014年华中科技大学理科实验班选拔数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$\left(n\sqrt 2\right)^2=\left(m+p\sqrt 3\right)^2,$$即$$m^2+3p^2-2n^2+2mp\cdot \sqrt 3=0,$$于是$$\begin{cases}m^2+3p^2-2n^2=0,\\ 2mp = 0,\end{cases}$$解得 $(m,p)=(0,0)$，进而 $n=0$，原命题得证．
答案
解析
备注
