若 $a$ 为正整数而 $\sqrt a$ 不为整数，证明：$\sqrt a$ 为无理数．
【难度】
【出处】
2014年华中科技大学理科实验班选拔数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设 $\sqrt a$ 不是无理数，则 $\sqrt a=\dfrac qp$，其中 $p,q\in\mathbb N^*$，$(p,q)=1$，且 $p\geqslant 2$．于是 $a=\dfrac{q^2}{p^2}$，而$$\left(p^2,q^2\right)=1,$$因此 $a$ 不为整数，矛盾．因此 $\sqrt a$ 是无理数．
答案
解析
备注
