已知 $f(x)=8x^3+ax^2+bx$，是否存在实数 $a,b$，使得对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $|f(x)|\leqslant 2$．若存在，求出 $a,b$ 的值；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a=0$，$b=-6$
【解析】
根据题意，有$$\begin{cases} f(1)=a+b+8,\\ f(-1)=a-b-8,\\ f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 14a+\dfrac 12b+1,\\ f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 14a-\dfrac 12b-1,\end{cases}$$于是$$\begin{cases} a=\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)=2f\left(\dfrac 12\right)+2f\left(-\dfrac 12\right),\\ b=\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)-8=f\left(\dfrac 12\right)-f\left(-\dfrac 12\right)-2.\end{cases}$$由第二个等式可得$$\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)-f\left(\dfrac 12\right)+f\left(-\dfrac 12\right)=6,$$而$$\begin{split} &\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)-f\left(\dfrac 12\right)+f\left(-\dfrac 12\right)\\\leqslant &\dfrac 12\left|f(1)\right|+\dfrac 12\left|f(-1)\right|+\left|f\left(\dfrac 12\right)\right|+\left|f\left(-\dfrac 12\right)\right|\\\leqslant& 6,\end{split} $$等号当且仅当 $f(1)=f\left(-\dfrac 12\right)=2$，$f(-1)=f\left(\dfrac 12\right)=-2$ 时取得，因此 $a=0$，$b=-6$．
答案
解析
备注
