在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 为等差数列，若 $A-C=\dfrac{\pi}2$，求 $a:b:c$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$
【解析】
根据题意，由正弦定理得有$$2\sin (A+C)=\sin A+\sin C,$$进而可得$$\cos C-\sin C=\dfrac 12,$$于是解得$$\sin C=\dfrac{\sqrt 7-1}4,\cos C=\dfrac{\sqrt 7+1}4,$$进而可得$$\sin B=\sin (A+C)=\cos^2 C-\sin^2 C=\dfrac{\sqrt 7}4,$$于是由正弦定理$$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C,$$从而$$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$
答案
解析
备注
