已知函数 $f(x)=x^2-2x+c$，若 $\{x\mid f(x)=x\}=\{x\mid f(f(x))=x\}$，求实数 $c$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 54,+\infty\right)$
【解析】
记 $y=f(x)$，根据题意，关于 $x$ 的方程 $f(f(x))=x$ 的解为方程组\[\begin{cases} y=x^2-2x+c,\\ x=y^2-2y+c\end{cases}\]的解的横坐标．两式相减可得\[(x-y)(x+y-1)=0,\]该方程与 $x-y=0$ 同解，因此方程\[x+y-1=0\]无解，或其实数解与方程 $x-y=0$ 的解相同．也即\[x^2-x+c-1=0\]无解或其解为 $x=\dfrac 12$，从而可得实数 $c$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 54,+\infty\right)$．
答案
解析
备注
