如图，已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的上顶点为 $A$，过点 $A$ 作圆 $M:(x+1)^2+y^2=r^2$（$0<r<1$）的两条切线分别与椭圆 $C$ 相交于点 $B,D$（不同于点 $A$）．当 $r$ 变化时，试问直线 $BD$ 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
过定点，定点为 $\left(0,-\dfrac 53\right)$
【解析】
设 $AB:y=kx+1$，则有$$\dfrac{|k-1|}{\sqrt{1+k^2}}=r,$$于是$$\left(1-r^2\right)k^2-2k+1-r^2=0,$$于是可得直线 $AD$ 的斜率为 $\dfrac 1k$．联立直线 $AB$ 与椭圆的方程，可得$$\left(4k^2+1\right)x^2+8kx=0,$$于是可得$$B\left(\dfrac{-8k}{4k^2+1},\dfrac{-4k^2+1}{4k^2+1}\right),D\left(\dfrac{-8k}{4k^2+1},\dfrac{-4+k^2}{4+k^2}\right).$$考虑到当 $r\to 1$ 时，$C$ 趋于椭圆的下顶点，$B$ 趋于椭圆的上顶点，因此猜想定点若存在，则必然在 $y$ 轴上，因此计算直线 $BD$ 的纵截距，为$$\dfrac{\dfrac{-4k^2+1}{4k^2+1}\cdot \left(\dfrac{-8k}{4+k^2}\right)+\dfrac{8k}{4k^2+1}\cdot \dfrac{-4+k^2}{4+k^2}}{\dfrac{-8k}{4+k^2}+\dfrac{8k}{4k^2+1}}=-\dfrac 53,$$因此直线 $BD$ 过定点 $\left(0,-\dfrac 53\right)$．
答案
解析
备注
