已知实数 $a,b$ 满足 $a^2\geqslant 4b$，求 $(1-a)^2+(a-b)^2+(1-b)^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 98$
【解析】
设 $a=x+y$，$b=xy$，其中 $x,y\in\mathbb R$，则\[\begin{split} (1-a)^2+(a-b)^2+(1-b)^2&=2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\\
&=2(x+y)^2+2x^2y^2-2xy(x+y)-2(x+y)-2xy+2\\
&=2\left(x^2y^2-x^2y-xy^2+x^2+y^2+xy-x-y+1\right)\\
&=2\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\\
&\geqslant 2\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 34=\dfrac 98,\end{split}\]等号当且仅当 $x=y=\dfrac 12$，即 $a=1,b=\dfrac 14$ 时取得．
&=2(x+y)^2+2x^2y^2-2xy(x+y)-2(x+y)-2xy+2\\
&=2\left(x^2y^2-x^2y-xy^2+x^2+y^2+xy-x-y+1\right)\\
&=2\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\\
&\geqslant 2\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 34=\dfrac 98,\end{split}\]等号当且仅当 $x=y=\dfrac 12$，即 $a=1,b=\dfrac 14$ 时取得．
答案
解析
备注
