已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\geqslant 1$，$a_1=1$，$a_2=1+\dfrac{\sqrt 2}2$，$\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}-1}\right)^2+\left(\dfrac{a_n-1}{a_{n-1}}\right)^2=2$，求证：$$\dfrac 23<\dfrac{a_n}n<\dfrac 23\left(1+\dfrac 1n\right).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $b_n=\left(\dfrac{a_{n-1}}{a_n-1}\right)^2$，则 $b_{n+1}+\dfrac{1}{b_n}=2$，从而利用不动点改造递推公式，可得当 $n\geqslant 2$ 时，有$$\dfrac{1}{b_{n+1}-1}=\dfrac{1}{b_n-1}+1,$$又 $b_2=2$，于是 $\dfrac{1}{b_n-1}=n-1$，即 $b_n=\dfrac{n}{n-1}$（$n\geqslant 2$）．这样就有$$\dfrac{a_n}{a_{n+1}-1}=\dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt n},$$也即$$\sqrt{n+1}\cdot a_{n+1}-\sqrt n\cdot a_n=\sqrt{n+1},$$累加可得$$\sqrt n\cdot a_n=1+\sqrt 2+\cdots +\sqrt n,$$于是 $a_n=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{i}n}$．由于函数 $f(x)=\sqrt x$ 单调递增，于是有$$\sum_{i=1}^n\left(\sqrt{\dfrac in}\cdot \dfrac 1n\right)>\int_{0}^1\sqrt{x}{ \rm d}x=\dfrac 23.$$又由于函数 $f(x)=\sqrt x$ 上凸，于是有$$\sum_{i=1}^n\left(\sqrt{\dfrac in}\cdot \dfrac 1n\right)<\int_{0}^1\sqrt{x}{ \rm d}x+\dfrac {f(1)-f(0)}{2n}=\dfrac 23+\dfrac{1}{2n}.$$综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
