将 ${\mathrm e}^3$，$3^{\mathrm e}$，$\pi^{\mathrm e}$，${\mathrm e}^\pi$，$3^\pi$，$\pi^3$ 从小到大排列．
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
$3^{\mathrm e}<{\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}<{\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3<3^{\pi}$
【解析】
首先由同底数及同指数幂的比较方法可得 $3^{\mathrm e}<{\pi}^{\mathrm e}<{\pi}^3$．考虑到比较 $a^b$ 与 $b^a$ 的大小关系即比较 $\dfrac{\ln a}{a}$ 与 $\dfrac{\ln b}{b}$ 的大小关系，因此构造辅助函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$．如左图为函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 的图象，它在 $(0,{\mathrm e})$ 上单调递增，在 $({\mathrm e},+\infty)$ 上单调递减，在 $x={\mathrm e}$ 处取得最大值．
于是我们有$$\dfrac{1}{\mathrm e}>\dfrac{\ln 3}{3}>\dfrac{\ln \pi}{\pi},$$于是可得 ${\mathrm e}^3>3^{\mathrm e}$，${\mathrm e}^\pi >{\pi}^{\mathrm e}$，$3^{\pi}>{\pi}^3$，结合之前已经得到的大小关系，可以画数轴如右图，其中 ${\rm e}^3\in \left(3^{\rm e},{\pi}^3\right)$，${\rm e}^{\pi}\in \left({\pi}^{\rm e},3^{\pi}\right)$．
接下来的任务就是比较 ${\mathrm e}^3$ 与 ${\pi}^{\mathrm e}$ 的大小关系以及 ${\mathrm e}^{\pi}$ 与 ${\pi}^3$ 的大小关系．与之前的手段类似，转化为比较 $\ln{\pi}$ 与 $\dfrac{3}{\mathrm e}$ 以及 $\dfrac{\pi}{3}$ 的大小．考虑到$$\dfrac{3}{\mathrm e}=1.10\cdots\quad ,\quad \dfrac{\pi}{3}=1.04\cdots$$因此问题的关键在于如何估计 $\ln{\pi}$ 的大小．考虑到\[\forall x>0,1-\dfrac 1x\leqslant \ln x\leqslant x-1,\]因此\[1-\dfrac{{\rm e}}{\pi}<\ln\dfrac{\pi}{\rm e}<\dfrac{\pi}{\rm e}-1,\]于是\[1.13<2-\dfrac{\rm e}{\pi}<\ln\pi<\dfrac{\pi}{\rm e}<1.16,\]因此\[\pi^{\rm e}>{\rm e}^3,\pi^3>{\rm e}^{\pi}.\]进而\[3^{\mathrm e}<{\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}<{\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3<3^{\pi}.\]
于是我们有$$\dfrac{1}{\mathrm e}>\dfrac{\ln 3}{3}>\dfrac{\ln \pi}{\pi},$$于是可得 ${\mathrm e}^3>3^{\mathrm e}$，${\mathrm e}^\pi >{\pi}^{\mathrm e}$，$3^{\pi}>{\pi}^3$，结合之前已经得到的大小关系，可以画数轴如右图，其中 ${\rm e}^3\in \left(3^{\rm e},{\pi}^3\right)$，${\rm e}^{\pi}\in \left({\pi}^{\rm e},3^{\pi}\right)$．接下来的任务就是比较 ${\mathrm e}^3$ 与 ${\pi}^{\mathrm e}$ 的大小关系以及 ${\mathrm e}^{\pi}$ 与 ${\pi}^3$ 的大小关系．与之前的手段类似，转化为比较 $\ln{\pi}$ 与 $\dfrac{3}{\mathrm e}$ 以及 $\dfrac{\pi}{3}$ 的大小．考虑到$$\dfrac{3}{\mathrm e}=1.10\cdots\quad ,\quad \dfrac{\pi}{3}=1.04\cdots$$因此问题的关键在于如何估计 $\ln{\pi}$ 的大小．考虑到\[\forall x>0,1-\dfrac 1x\leqslant \ln x\leqslant x-1,\]因此\[1-\dfrac{{\rm e}}{\pi}<\ln\dfrac{\pi}{\rm e}<\dfrac{\pi}{\rm e}-1,\]于是\[1.13<2-\dfrac{\rm e}{\pi}<\ln\pi<\dfrac{\pi}{\rm e}<1.16,\]因此\[\pi^{\rm e}>{\rm e}^3,\pi^3>{\rm e}^{\pi}.\]进而\[3^{\mathrm e}<{\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}<{\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3<3^{\pi}.\]
答案
解析
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