题目 ${\mathrm \pi} $ 为圆周率，${\mathrm{e}} = 2.71828 \cdots $ 为自然对数的底数． 问题1 求函数 $f\left( x \right) = \dfrac{\ln x}{x}$ 的单调区间； 答案1 函数 $f\left(x\right)$ 的单调增区间为 $\left(0,{\mathrm{e}}\right)$，单调减区间为 $\left({\mathrm{e}}, + \infty \right)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x},\]于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline<br/>x&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&+ & 0 & - \\ \hline<br/>f(x)&\nearrow&{\rm lmax}&\searrow \\ \hline\end{array}\]因此函数 $f\left(x\right)$ 的单调增区间为 $\left(0,{\mathrm{e}}\right)$，单调减区间为 $\left({\mathrm{e}}, + \infty \right)$． 备注1 问题2 求 ${{\mathrm{e}}^3} , {3^{\mathrm{e}}} , {{\mathrm{e}}^{\mathrm \pi} } , {{\mathrm \pi} ^{\mathrm{e}}} , {3^{\mathrm \pi} } , {{\mathrm \pi} ^3}$ 这 $ 6 $ 个数中的最大数与最小数； 答案2 $ 6 $ 个数中的最大数为 ${3^{\mathrm{\mathrm \pi} } }$，最小数为 ${3^{\mathrm{e}}}$ 解析2 首先由同底数及同指数幂的比较方法可得 $3^{\mathrm e}<{\pi}^{\mathrm e}<{\pi}^3$．考虑到比较 $a^b$ 与 $b^a$ 的大小关系即比较 $\dfrac{\ln a}{a}$ 与 $\dfrac{\ln b}{b}$ 的大小关系，根据第 $(1)$ 小题结论，有$$\dfrac{1}{\mathrm e}>\dfrac{\ln 3}{3}>\dfrac{\ln \pi}{\pi},$$于是可得 ${\mathrm e}^3>3^{\mathrm e}$，${\mathrm e}^\pi >{\pi}^{\mathrm e}$，$3^{\pi}>{\pi}^3$，结合之前已经得到的大小关系，可以画数轴如右图，其中 ${\rm e}^3\in \left(3^{\rm e},{\pi}^3\right)$，${\rm e}^{\pi}\in \left({\pi}^{\rm e},3^{\pi}\right)$．<img src="/static/images/b3f6d433ebff60b685ba73b868ade938.png" class="img-responsive" /> 备注2 问题3 将 ${{\mathrm{e}}^3}, {3^{\mathrm{e}}} , {{\mathrm{e}}^{\mathrm \pi} } , {{\mathrm \pi} ^{\mathrm{e}}} , {3^{\mathrm \pi} } , {{\mathrm \pi} ^3}$ 这 $ 6 $ 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 答案3 ${3^{\mathrm{e}}} , {{\mathrm{e}}^3} , {{\mathrm{\mathrm \pi} } ^{\mathrm{e}}} , {{\mathrm{e}}^{\mathrm{\mathrm \pi} } } , {{\mathrm{\mathrm \pi} } ^3} , {3^{\mathrm{\mathrm \pi} } }$ 解析3 接下来比较 ${\mathrm e}^3$ 与 ${\pi}^{\mathrm e}$ 的大小关系以及 ${\mathrm e}^{\pi}$ 与 ${\pi}^3$ 的大小关系．与之前的手段类似，转化为比较 $\ln{\pi}$ 与 $\dfrac{3}{\mathrm e}$ 以及 $\dfrac{\pi}{3}$ 的大小．考虑到$$\dfrac{3}{\mathrm e}=1.10\cdots\quad ,\quad \dfrac{\pi}{3}=1.04\cdots$$因此问题的关键在于如何估计 $\ln{\pi}$ 的大小．考虑到\[\forall x>0,1-\dfrac 1x\leqslant \ln x\leqslant x-1,\]因此\[1-\dfrac{{\rm e}}{\pi}<\ln\dfrac{\pi}{\rm e}<\dfrac{\pi}{\rm e}-1,\]于是\[1.13<2-\dfrac{\rm e}{\pi}<\ln\pi<\dfrac{\pi}{\rm e}<1.16,\]因此\[\pi^{\rm e}>{\rm e}^3,\pi^3>{\rm e}^{\pi}.\]进而\[3^{\mathrm e}<{\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}<{\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3<3^{\pi}.\] 备注3