求 $\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$ 的个位数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
注意到 $5+\sqrt{22}$ 是方程 $x^2-10x+3=0$ 的一个根，因此构造递推数列$$a_{n+2}=10a_{n+1}-3a_n,$$使得$$a_n=\left(5+\sqrt{22}\right)^n+\left(5-\sqrt{22}\right)^n,$$则 $a_1=10$，$a_2=94$．因此$$a_{n+2}\equiv -3a_n\pmod{10},$$因此奇数项的个位数均为 $0$，偶数项的个位数分别为 $4,8,6,2,4,8,6,2,\cdots $，进而 $a_{2016}$ 的个位数为 $2$，因此 $\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$ 的个位数为 $1$．
答案
解析
备注
