题目 设函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{a}{2}{x^2} + bx + c$，其中 $a > 0$．曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $P\left( {0 , f\left( 0 \right)} \right)$ 处的切线方程为 $y = 1$． 问题1 确定 $b,c$ 的值； 答案1 $b=0$，$c=1$ 解析1 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=x^2-ax+b,$$于是该函数在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=bx+c$，因此 $b=0$，$c=1$． 备注1 问题2 设曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $\left( {{x_1} , f\left( {{x_1}} \right)} \right)$ 及 $\left( {{x_2} , f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ 处的切线都过点 $\left( {0 , 2} \right)$．证明：当 ${x_1} \neq {x_2}$ 时，$f'\left( {{x_1}} \right) \ne f'\left( {{x_2}} \right)$； 答案2 略 解析2 我们证明一个更一般的结论．<br/><sol>引理</sol>任何一条直线不可能与三次函数的图象相切于不同的两点．<br/><sol>证明</sol>用反证法．设直线 $y=kx+m$ 与三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a\ne 0$）的图象相切于不同的两点，切点横坐标分别为 $x_1,x_2$，则考虑\[g(x)=f(x)-(kx+m),\]有\[g(x_1)=g(x_2)=0,\]因此可设\[g(x)=a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_3).\]又根据已知，有\[g'(x_1)=g'(x_2)=0,\]而\[g'(x)=a(x-x_1)(x-x_2)+a(x-x_2)(x-x_3)+a(x-x_3)(x-x_1),\]因此\[\begin{split} g'(x_1)&=a(x_1-x_2)(x_1-x_3)=0,\\ g'(x_2)&=a(x_2-x_1)(x_2-x_3)=0,\end{split} \]进而\[x_1=x_3,x_2=x_3,\]矛盾．因此引理得证．<br/>根据引理易得原命题成立． 备注2 问题3 若过点 $\left( {0 , 2} \right)$ 可作曲线 $y = f\left( x \right)$ 的三条不同切线，求 $a$ 的取值范围． 答案3 $\left(2\sqrt[3]{3},+\infty \right)$ 解析3 函数 $f(x)$ 的对称中心为 $\left(\dfrac a2,-\dfrac {a^3}{12}+1\right)$，于是在对称中心处的切线方程为$$y=-\dfrac{a^2}4\left(x-\dfrac a2\right)-\dfrac{a^3}{12}+1,$$根据三次函数的切线条数结论 $(1)$，可得$$1<2<\dfrac{a^3}{24}+1,$$解得 $a>2\sqrt[3]{3}$，即 $a$ 的取值范围是 $\left(2\sqrt[3]{3},+\infty \right)$． 备注3