已知 $f(x)=x-\ln x$ 的图象与直线 $y=m$ 交于不同的两点 $(x_1,m)$ 和 $(x_2,m)$，求证：$x_1x_2^2<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\dfrac{x_2}{x_1}=t$，且 $t>1$，则$$x_1=\dfrac{\ln t}{t-1},x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1},$$于是只需要证明$$\dfrac{\ln t}{t-1}\cdot \dfrac{t^2\ln^2t}{(t-1)^2}<2,$$也即$$\ln t<\dfrac{2^{1/3}(t-1)}{t^{2/3}}.$$令 $t^{1/3}=x$（$x>1$），只需要证明$$2^{1/3}\left(x-\dfrac{1}{x^2}\right)-3\ln x>0,$$记 $LHS=\varphi(x)$，则$$\varphi'(x)=\dfrac{2^{1/3}x^3-3x^2+2\cdot 2^{1/3}}{x^3},$$设其分子部分为 $\mu(x)$，则$$\mu'(x)=3\cdot 2^{1/3}x^2-6x,$$于是其在 $(1,+\infty)$ 上的极小值，亦为最小值为$$\mu(2^{2/3})=0,$$因此 $\varphi(x)$ 单调递增，又 $\varphi (1)=0$，因此命题得证．
答案
解析
备注
