设实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=0$，令 $d=\max\{|a|,|b|,|c|\}$．证明：\[|(1+a)(1+b)(1+c)|\geqslant1-d^2.\]
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛B卷（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $a\leqslant 0$ 且 $c\geqslant 0$．若 $d\geqslant 1$，则不等式显然成立．下面考虑 $0\leqslant d<1$ 的情形，此时 $a,b,c\in (-1,1)$，于是\[m=|(1+a)(1+b)(1+c)|=(1+a)(1+b)(1+c).\]当 $b\geqslant 0$ 时，有\[m\geqslant (1+a)(1+b+c)=1-a^2\geqslant 1-d^2,\]类似的，当 $b<0$ 时，有\[m\geqslant (1+a+b)(1+c)=1-c^2\geqslant 1-d^2,\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
