题目 已知函数 $f(x)=(x-2){\rm e}^x+a(x-1)^2$． 问题1 讨论 $f(x)$ 的单调性； 答案1 当 $a<-\dfrac{\rm e}2$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 和 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上单调递增，在 $(1,\ln(-2a))$ 上单调递减．<br/>当 $a=-\dfrac{\rm e}2$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．<br/>当 $-\dfrac{\rm e}2<a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,\ln(-2a))$ 和 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $(\ln(-2a),1)$ 上单调递减．<br/>当 $a\geqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=(x-1)({\rm e}^x+2a),$$因此可以得到讨论的分界点为 $-\dfrac{\rm e}2,0$．<br/><case>情形一</case>当 $a<-\dfrac{\rm e}2$ 时，$\ln (-2a)>1$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(1,\ln(-2a))$ 上单调递减，在 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上单调递增．<br/><case>情形二</case>当 $a=-\dfrac{\rm e}2$ 时，$\ln (-2a)=1$，因此函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．<br/><case>情形三</case>当 $-\dfrac{\rm e}2<a<0$ 时，$\ln (-2a)<1$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln(-2a))$ 上单调递增，在 $(\ln(-2a),1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．<br/><case>情形四</case>当 $a\geqslant 0$ 时，${\rm e}^x+2a>0$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增． 备注1 问题2 若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $(0,+\infty)$ 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，结合 $f(1)=-{\rm e}$，于是情形一和情形二均不符合题意．对于情形三，有 $\ln(-2a)-2<0$ 且 $a<0$，于是 $f(\ln(-2a))<0$，不符合题意．<br/>考虑到当 $a=0$ 时，有\[\lim_{x\to -\infty}f(x)=0,\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\]而当 $a>0$ 时，有\[\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty,\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\]于是 $a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．下面给出证明．<br/><case>情形一</case> $x<1$ 时．考虑到\[\left((x-2)\cdot {\rm e}^x\right)'={\rm e}^x\left(x-1\right),\]于是\[(x-2)\cdot {\rm e}^x> -{\rm e},\]因此取 $x_1=1-\sqrt{\dfrac{\rm e}a}$，则 $f(x_1)>0$．因此函数 $f(x)$ 在 $(x_1,1)$ 上存在零点．<br/><case>情形二</case> $x>1$ 时．由于 $f(2)=2>0$，因此函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 上存在零点．<br/>综合以上两种情形，结合函数 $f(x)$ 的单调性可知，实数 $a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$． 备注2