过点 $P(3,1)$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $C:\dfrac{x^2}3-y^2=1$ 的左、右两支分别交于点 $A,B$，在线段 $AB$ 上取不同于 $A,B$ 的点 $Q$，满足 $|AP|\cdot |QB|=|AQ|\cdot |PB|$，求证：点 $Q$ 总在某条定直线上．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
点 $Q$ 在定直线 $x-y-1=0$ 上
【解析】
由于 $|AP|\cdot |QB|=|AQ|\cdot |PB|$，不妨设$$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB},\overrightarrow{AQ}=-\lambda \overrightarrow{QB},$$$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则利用定比点差法，有$$P\left(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right),Q\left(\dfrac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda},\dfrac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}\right),$$于是由$$\dfrac{x_1^2}3-y_1^2=1,\dfrac{\lambda^2x_2^2}{3}-\lambda^2y_2^2=\lambda^2,$$两式相减得$$\dfrac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}3-(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)=1-\lambda^2,$$整理，即$$\dfrac 13\cdot \dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\cdot\dfrac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda}-\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\cdot \dfrac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda }=1,$$从而$$\dfrac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda}-\dfrac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}-1=0,$$因此点 $Q$ 在定直线 $x-y-1=0$ 上．
答案
解析
备注
