已知 $f(x)=x-\ln x$ 的图象与直线 $y=m$ 交于不同的两点 $(x_1,m)$ 和 $(x_2,m)$，求证：$x_1x_2^2<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x-1}{x},$$于是两个公共点分别位于直线 $x=1$ 的两侧，只需要证明当 $0<x_1<1<x_2$ 时，$x_1x_2^2<2$，也即\[1<x_2<\sqrt{\dfrac{2}{x_1}},\]于是问题转化为证明\[\forall x\in (0,1),f(x)-f\left(\sqrt{\dfrac 2x}\right)<0,\]令 $t=\sqrt{\dfrac 2x}$，则 $t>\sqrt 2$，欲证命题即\[\forall t>\sqrt 2,3\ln t+\dfrac 2{t^2}-t-\ln 2<0,\]设左边函数为 $\varphi(t)$，则导函数\[\varphi'(t)=\dfrac{-(t+1)(t-2)^2}{t^3}<0,\]于是\[\varphi(t)<\varphi\left(\sqrt 2\right)=\ln \sqrt 2-\sqrt 2+1<0,\]因此命题得证．
答案
解析
备注
