题目 设函数 $f(x)=\sin x+\sqrt3\cos x+1$． 问题1 求函数 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值； 答案1 最小值为 $2$，最大值为 $3$ 解析1 由条件知$$f(x)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+1.$$因为 $0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}$，所以$$\dfrac{\pi}{3}\leqslant x+\dfrac{\pi}{3}\leqslant\dfrac{5\pi}{6},$$于是$$\dfrac12\leqslant\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\leqslant1.$$因此，当 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 时，$f(x)$ 有最小值 $2$；当 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 时，$f(x)$ 有最大值 $3$． 备注1 问题2 若实数 $a,b,c$ 使得 $af(x)+bf(x-c)=1$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，求 $\dfrac{b\cos c}{a}$ 的值． 答案2 $-1$ 解析2 由条件知$$2a\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2b\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}-c\right)+a+b=1$$对任意的 $x\in\mathbb R$ 恒成立，所以\[\begin{split}&2a\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2b\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\cos c-2b\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\sin c+(a+b-1)=0,\\&2(a+b\cos c)\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-2b\sin c\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+(a+b-1)=0,\end{split}\]因此$$\begin{cases}a+b\cos c=0,\\ b\sin c=0,\\ a+b-1=0.\end{cases}$$若 $b=0$，则由 $a+b\cos c=0$ 知 $a=0$，这与 $a+b-1=0$ 矛盾．<br/>若 $\sin c=0$，则 $\cos c=1$（舍），或 $\cos c=-1$，解得$$a=b=\dfrac12 , c=(2k+1)\pi,$$所以 $\dfrac{b\cos c}{a}=-1$． 备注2