2010年全国高中数学联赛吉林省预赛

$2025$

先证明这样的矩形不超过 $2025$ 个．
任取定 $100$ 个整点．设 $O$ 为所取定的 $100$ 个整点中的一个，我们称以 $O$ 为一个顶点，另外三个也取自 $100$ 个整点，且边均与两坐标轴平行或重合的矩形为“好的”．
下证：至多有 $81$ 个“好的”矩形．
事实上，过 $O$ 作平行于两坐标轴的直线 $l_1$，$l_2$，并设 $l_1$（不含原点 $O$）上有 $m$ 个点取自所取定的 $100$ 个整点，$l_2$（不含原点 $O$）上有 $n$ 个点取自所取定的 $100$ 个整点．
设点 $P$ 为所取定的 $100$ 个整点中的一个，且不在 $l_1$ 和 $l_2$ 上，则至多有一个“好的”矩形以 $P$ 为其一个顶点，而这样的点至多有 $99-m-n$ 个，且每一个“好的”矩形必有一个顶点为这样的点，于是
情形一 若 $m+n\geqslant 18$，则“好的”矩形至多有 $ 99-m-n \leqslant 81$ 个．
情形二 若 $m+n\leqslant 18$，考虑点对 $ (P,Q)$，其中$$ P \in l_1(\text{不含原点} ) , Q\in l_2(\text{不含原点} ),$$可知每一对 $ (P,Q)$ 至多形成一个“好的”矩形，故“好的”矩形的个数$$k \leqslant mn \leqslant m(18-m)\leqslant 9\times 9=81.$$综上可知，对所取定的 $100$ 个整点中的任意一点 $O$，以 $O$ 为其一个顶点的“好的”矩形至多 $81$ 个，于是，满足条件的矩形的个数 $ \leqslant \dfrac {81\times 100}{4}=2025$（这里除以 $4$ 是因为每个矩形有 $4$ 个顶点）．
再证明可以画出 $2025$ 个这样的矩形．
设点集$$A=\{(x,y)|1 \leqslant x \leqslant 10,1\leqslant y \leqslant 10, x,y \in \mathbb N^*\},$$取点集 $A$ 中的 $100$ 个点，则恰好可以画出满足题设的 $2025$ 个矩形．
综上可知，最多能画出 $2025$ 个这样的矩形．