2010年全国高中数学联赛福建省预赛

$$g(a)=\begin{cases}1-2a,&a<\sqrt 2-1,\\ a^2, &\sqrt 2-1 \leqslant a<1,\\ 2a-1, &a \geqslant 1.\end{cases}$$

$x \in [0,1]$ 时，$$f(x)=x|x-2a|=|(x-a)^2-a^2|.$$记$$h(x)=(x-a)^2-a^2.$$情形一 $a\leqslant 0$．
$h(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上为增函数，所以$$h(x)\geqslant h(0)=0,$$故此时$$g(a)=h(1)=1-2a.$$情形二 $a\geqslant 1$．
$h(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上为减函数，所以$$h(x)\leqslant h(0)=0,$$故此时$$g(a)=-h(1)= 2a-1.$$情形三 $0<a<1$．
$h(x)$ 在区间 $[0,a]$ 上为减函数，在区间 $[a,1]$ 上为增函数，因为$$h(0)=0 , h(a)=-a^2 , h(1)=1-2a,$$所以$$g(a)=max\{-h(a),-h(1)\}.$$因为\[\begin{split}h^2(a)-h^2(1)&=(a^2)^2-(1-2a)^2\\&=(a^2-2a+1)(a^2+2a-1)\\&=(a-1)^2(a^2+2a-1),\end{split}\]当 $0<a<\sqrt 2-1$ 时，$$(a^2)^2-(1-2a)^2<0,$$所以$$a^2<|1-2a|=1-2a;$$当 $\sqrt 2-1\leqslant a<1$ 时，$$(a^2)^2-(1-2a)^2\geqslant 0,$$所以$$a^2>|1-2a|.$$因此，当 $0<a<\sqrt 2-1$ 时，$$g(a)=1-2a,$$当 $ \sqrt 2-1\leqslant a<1$ 时，$$g(a)=a^2.$$综合以上情形，$$g(a)=\begin{cases}1-2a,&a<\sqrt 2-1,\\ a^2, &\sqrt 2-1 \leqslant a<1,\\ 2a-1, &a \geqslant 1.\end{cases}$$