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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24338 5927c4f450ce8400087afa2b 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足递推关系式：$2a_{n+1}=1-a_{n}^{2}(n\geqslant 1,n\in\mathbb N)$，且 $0<a_{1}<1$． 2022-04-17 20:48:35
24337 5927c9bc50ce840007247a87 高中 解答题 高考真题 已知 $f(x)$ 为二次函数，不等式 $f(x)+2<0$ 的解集为 $\left(-1,\dfrac{1}{3}\right)$，且对任意 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，恒有 $f(\sin\alpha)\leqslant 0$，$f(2+\cos \beta)\geqslant 0$．数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$，$3a_{n+1}=1-\dfrac{1}{f'(a_{n})}(n\in\mathbb N^{*})$． 2022-04-17 20:48:35
24336 5927cba650ce8400087afa39 高中 解答题 高考真题 对于各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$，如果 $a_{i}+i(i=1,2,3,\cdots)$ 为完全平方数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“$P$ 性质”．
不论数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有“$P$ 性质”，如果存在与 $\{a_{n}\}$ 不是同一个数列的 $\{b_{n}\}$，且 $\{b_{n}\}$ 同时满足下面两个条件；
① $b_{1},b_{2},b_{3},\cdots,b_{n}$ 是 $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ 是一个排列；
② 数列 $b_{n}$ 具有“$P$ 性质”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“变换 $P$ 性质”．		 2022-04-17 20:47:35
24335 5927d9c950ce840007247a9f 高中 解答题 高考真题 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}=0$，且对任意 $k\in\mathbb N^{*}$，$a_{2k-1},a_{2k},a_{2k+1}$ 成等差数列，其公差为 $d_{k}$． 2022-04-17 20:47:35
24334 5927dace50ce840007247aa5 高中 解答题 高考真题 设 $f\left(x\right)$ 是定义在区间 $\left(1,+\infty \right)$ 上的函数，其导函数为 $f'\left(x\right)$．如果存在实数 $a$ 和函数 $h\left(x\right)$，其中 $h\left(x\right)$ 对任意的 $x\in \left(1,+\infty \right)$ 都有 $h\left(x\right) >0$，使得 $f'\left(x\right)=h\left(x\right)\left({{x}^{2}}-ax+1\right)$，则称函数 $f\left(x\right)$ 具有性质 $P\left(a\right)$． 2022-04-17 20:47:35
24333 592e1859eab1df00095843ee 高中 解答题 高考真题 数列 $\{a_n\},\{b_n\}(n=1,2,\cdots)$ 由下列条件确定：
① $a_1<0,b_1>0$；
② 当 $k\geqslant2$ 时，$a_k$ 与 $b_k$ 满足：
当 $a_{k-1}+b_{k-1}\geqslant0$ 时，$a_k=a_{k-1},b_k=\dfrac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}$；
当 $a_{k-1}+b_{k-1}<0$ 时，$a_k=\dfrac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}$，$b_k=b_{k-1}$．		 2022-04-17 20:46:35
24332 592e21adeab1df0007bb8ca0 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=x^2+x$，$f'(x)$ 为函数 $f(x)$ 的导函数． 2022-04-17 20:45:35
24331 592e2ed2eab1df000958441e 高中 解答题 高中习题 设集合 $W$ 是满足下列两个条件的无穷数列 $\{a_n\}$ 的集合：
① $\dfrac{a_n+a_{n+2}}{2}\leqslant a_{n+1}$；
② $a_n\leqslant M$，其中 $n\in\mathbb N^*$，$M$ 是与 $n$ 无关的常数．		 2022-04-17 20:45:35
24330 596099c13cafba00083371ab 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 为正整数，求证：$\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数． 2022-04-17 20:44:35
24329 596318203cafba0007613115 高中 解答题 自招竞赛 求曲线 $y=2-\sqrt{1-4^x}$ 和 $y=a\cdot 2^x(a\in \mathbb R)$ 的交点． 2022-04-17 20:43:35
24328 5963185e3cafba0007613118 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 为圆 $O$ 的内接四边形，对边 $BC,AD$ 交于 $F$，$AB,DC$ 交于 $E$．$\triangle{ECF}$ 的外接圆与圆 $O$ 的另一交点为 $H$，$AH$ 交 $EF$ 于 $M$，$MC$ 交圆 $O$ 于 $G$．求证： 2022-04-17 20:43:35
24327 596320223cafba0007613138 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系中，已知圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交于点 $P,Q$，点 $P$ 的坐标为 $(3,2)$，两圆半径的乘积为 $\dfrac{13}{2}$．若圆 $C_1$ 和 $C_2$ 均与直线 $l:y=kx$ 及 $x$ 轴相切，求直线 $l$ 的方程． 2022-04-17 20:42:35
24326 5963209b3cafba0008337338 高中 解答题 自招竞赛 集合 $M\subseteq\{1,2,\cdots ,2011\}$，若 $M$ 满足：其任意三个元素 $a,b,c$，均满足 $ab\ne c$，则称 $M$ 具有性质 $P$，为方便起见，简记 $M\in P$．具有性质 $P$ 的所含元素最多的集合称为最大集，试问具有性质 $P$ 的最大集共有多少个？并给出证明． 2022-04-17 20:41:35
24325 596323143cafba000833735e 高中 解答题 自招竞赛 已知二次函数 $f(x)=ax^2+2bx+c(c>b>a)$，其图象过点 $(1,0)$，并与直线 $y=-a$ 有公共点．求证：$0\leqslant \dfrac ba<1$． 2022-04-17 20:40:35
24324 596330a63cafba00083373d7 高中 解答题 自招竞赛 如图，$M$ 为 $\triangle{ABC}$ 的中线 $AD$ 的中点，过点 $M$ 的直线分别交两边 $AB,AC$ 于点 $P,Q$，设 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}$，记 $y=f(x)$． 2022-04-17 20:40:35
24323 596336ed3cafba0008337433 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $a,b,c$ 满足 $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c$，且 $a|b+c+1$，$b|c+a+1$，$c|a+b+1$，求出所有的三元数组 $(a,b,c)$． 2022-04-17 20:39:35
24322 596337b83cafba000ac43f60 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 满足条件：$a_1=b_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2b_n$，$b_{n+1}=a_n+ b_n$．证明：对每一个正整数 $n$，下式成立： 2022-04-17 20:38:35
24321 59633a523cafba0008337476 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $C:y^2=2px (p>0)$，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，连结 $A$ 及抛物线顶点 $O$ 的直线交准线于 $B'$，连结 $B$ 及 $O$ 的直线交准线于 $A'$，并 $AA'$ 与 $BB'$ 都平行于 $x$ 轴． 2022-04-17 20:38:35
24320 59633d353cafba0009670e62 高中 解答题 自招竞赛 设关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx-1=0$ 有两个实根 $\alpha,\beta(\alpha<\beta)$，函数 $f(x)=\dfrac{2x-m}{x^{2}+1}$． 2022-04-17 20:37:35
24319 596341dd3cafba00083374e2 高中 解答题 自招竞赛 作斜率为 $\dfrac 13$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 交于 $A,B$ 两点（如图所示），且 $P(3\sqrt 2,\sqrt 2)$ 在直线 $l$ 的左上方． 2022-04-17 20:37:35
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