2010年全国高中数学联赛福建省预赛

当 $a>\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，原方程无解；当 $a\leqslant 0$ 或 $a=\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，原方程有一解；当 $0<a<\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，原方程有两解

当 $a \leqslant 0$ 时，在同一坐标系内作函数 $y=ax$ 与 $y=\ln x$ 的图象，易知两图象有且仅有 $1$ 个交点，所以当 $a \leqslant 0$ 时，方程有且仅有一解．
当 $a >0$ 时，设 $f(x)=ax-\ln x$，则$$f'(x)=a-\dfrac 1x=\dfrac {ax-1}{x} (x>0).$$因为当 $0<x <\dfrac 1a$ 时，$f'(x)<0$；
当 $x >\dfrac 1a$ 时，$f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 在区间 $\left(0,\dfrac 1a\right]$ 上为减函数，区间 $\left[\dfrac 1a,+\infty \right) $ 上为增函数，所以 $f(x)$ 的最小值为$$f\left(\dfrac 1a\right)=1+\ln a.$$因此，
情形一 当 $1+\ln a>0$，即 $a>\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，$$f(x)\geqslant f\left(\dfrac 1a\right)=1+\ln a>0,$$方程 $f(x)=0$ 无解．
情形二 当 $1+\ln a=0$，即 $a=\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，方程 $f(x)=0$ 恰有一解．
情形三 当 $1+\ln a<0$，即 $0<a<\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，因为$$f(x)\to +\infty(x\to 0) , f(x)\to +\infty(x \to +\infty),$$且$$f\left(\dfrac 12\right)=1+\ln a<0,$$所以 $f(x)$ 在区间 $\left(0,\dfrac 1a\right)$ 与 $\left(\dfrac 1a,+\infty \right) $ 内各有一解，即 $f(x)=0$ 有两个不同的解．
综上知，当 $a>\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，原方程无解；当 $a\leqslant 0$ 或 $a=\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，原方程有一解；当 $0<a<\dfrac {1}{\mathrm e}$ 时，原方程有两解．