已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若函数 $g(x)=f(x)-ax^2-1$ 的导函数 $g'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数，试求实数 $a$ 的最大值；标注答案$\dfrac12$解析因为$$g'(x)=f'(x)-2ax=(\mathrm{e}^x-1)-2ax.$$因为导函数 $g'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数，所以$$[g'(x)]'=\mathrm{e}^x-2a\geqslant0,$$从而$$a\leqslant\dfrac12\mathrm{e}^x , x\in[0,+\infty),$$所以 $a\leqslant\dfrac12$，即 $a$ 的最大值为 $\dfrac12$．
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求证：$f\left(\dfrac12\right)+f\left(\dfrac13\right)+\cdots+f\left(\dfrac1n\right)>n\left[1+\dfrac{1}{4(n+2)}\right]$，其中 $n\in\mathbb N^*$．标注答案略解析由 $(1)$ 可知，当 $a=\dfrac12$ 时，$g'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数，故$$g'(x)\geqslant g'(0)=0,$$所以 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数，于是$$g(x)\leqslant g(0)=0,$$即$$f(x)\geqslant\dfrac12x^2+1 , x\in[0,+\infty).$$依次令 $x=\dfrac12,\dfrac13,\cdots,\dfrac{1}{n+1}$，可得\[\begin{split}&f\left(\dfrac12\right)\geqslant\dfrac12\cdot\left(\dfrac12\right)^2+1,\\& f\left(\dfrac13\right)\geqslant\dfrac12\cdot\left(\dfrac13\right)^2+1,\\&\cdots\\&f\left(\dfrac{1}{n+1}\right)\geqslant\dfrac12\cdot\left(\dfrac{1}{n+1}\right)^2+1.\end{split}\]将以上不等式相加，得\[\begin{split}&f\left(\dfrac12\right)+f\left(\dfrac13\right)+\cdots+f\left(\dfrac{1}{n+1}\right)\\\geqslant&\dfrac12\left[\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{1}{n+1}\right)^2\right]+n\\>&\dfrac12\left[\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right]+n\\=&\dfrac12\left(\dfrac12-\dfrac{1}{n+2}\right)+n\\=& n\left[1+\dfrac{1}{4(n+2)}\right].\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
